（期中复习）正余弦定理教案（附答案）

【例2】如图所示，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，角平分线AD=2cm，求这个三角形的面积。 第三张图：例3、例4（记为§5.9.4 C） 【例3】已知三角形的一个角为60°，面积为10cm2，周长为20cm2。 求三角形每条边的长度。 。 【例4】在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC的中点，AD=4，求BC边长。 ●教学流程 一． 复习复习 老师：上节课我们学习了正弦余弦定理的边角转换函数在证明三角恒等式和判断三角形形状中的应用。 在本节中，我们将综合正弦和余弦定理以及三角函数公式。 以及三角形的相关性质来解决三角形问题。 首先，让我们回顾一下正弦和余弦定理的内容（给定幻灯片§5.9.4 A）。  二． 教授新课程的老师：接下来我们看屏幕上的例题。 （给出幻灯片§5.9.4 B） 【例1】分析：由于问题设置条件中给出了三角形两个角之间的关系，因此需要利用正弦定理建立边角关系。 其中，cosα是用正弦的二倍角展开sin2α后出现的。 我们可以继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的。  解：设三角形三边长分别为x，x+1，x+2，其中x∈N*，设最小角为α，则由余弦定理可得① : 2(x+1)(x+2)cosα② 将①代入②，得：6。

 点评：（1）本题需要边长，因此需要利用正弦、余弦定理变换到边，从而建立关于边长的方程；  (2)在求解过程中，采用的是正弦双角公式，因此，应向学生强调三角公式的工具作用，吸引学生对三角公式的注意。  【例2】分析：由于题目条件中两边的长度已知，因此关联面积公式S△ABC=AB·AC·sinA需要sinA，而△ABC的面积可以换算成S△ ADC+S△ADB，且S △ADC=AC·ADsin，S△ADB=AB·AD·sin，因此，建立包含sinA和sin的方程： S△ABC=S△ADC＋S△ADB，且sinA=，sin2＋cos2 =1，所以可以求出sinA，从而可以求出三角形的面积。 解：△ABC中，S△ABC=S△ADB+S△ADC，∴AB·＝·AC·ADsin＋·AB·ADsin∴·4·3sinA＝·3·2sin∴6sinA＝7sin∴＝7sin∵sin ≠ 0 ∴cos＝且0＜A＜π ∴0＜＜∴sin＝、∴sinA＝＝、∴S△ABC＝·4·3sinA＝（cmｍ2）。  点评：面积方程的建立是求sinA的突破口，而sinA的求解离不开对三角公式的熟悉。

这启发学生熟练应用三角函数公式，同时注重三角函数性质的应用。 另外正余弦定理，当应用同角度sin2α+cos2α=1的平方关系时，在进行正负选择之前应讨论角度的范围。 （给出幻灯片§5.9.4 C） 【例3】分析：除一个角外，面积和周长都不是三角形的基本要素，但它们都与边长有关，因此我们可以设置边长并使用给定条件建立方程。 由于边长是三个未知数，因此我们需要找到三个方程。 其中之一可以利用余弦定理来表达已知的三边60°角。 的余弦，第二个面积公式S△ABC=可以用来表示面积，第三个是周长条件的应用。  解：假设三角形三边长分别为a、b、c，B=60°，则根据题，由式①可得：b2=[20-(a+c)] 2=400+a2+c2+2ac-40(a+c) ④ 将②代入④，得400+3ac-40(a+c)=0。 然后将③代入a+c=13。 由∴b1=7，b2=7，所以这个三角形的三边长分别为5cm、7cm、8cm。  点评：（1）在建立方程的过程中，应注意可以通过余弦定理来建立方程，同时还应注意包含正弦形式的面积公式的应用。  (2) 由条件得到的是三维二次方程组。 要注重要求学生了解解题的方法和思路，提高解方程和运算的能力。

 【例4】分析：本题给出的条件只是边长。 假设BC为x后，应考虑建立关于x的方程。 正弦定理涉及两个角度，因此不能使用。 此时，要注意余弦定理在建立方程中所起的作用。 由于D是BC的中点，BD和DC可表示为，然后利用余弦互为相反的性质建立方程。  解：假设BC边为-∠ADC)=-。 ∴解为，x=2所以BC的边长为2。 点评：本题应启发学生注意余弦定理在建立方程中的作用，体验余弦性质的应用互补角互为相反数，注意总结该性质的适用题型。  另外，对于本节例2，也可以考虑应用上述性质来求解sinA。 其思路如下： 由三角形内角平分线的性质可得。 假设BD=5k，DC=3k，则补角∠ADC，∠建立方程，其中∠ADB的余弦值互为相反数。 求出BC后，结合余弦定理求出cosA，再由同角度的平方关系求出sinA。 师：为了巩固本节所学的解题方法，我们下面进行课堂练习。  三． 课堂练习 1． 半径为1的圆内切三角形的面积为0.25。 求这个三角形三边长度的乘积。

 解：设△ABC的三边分别为a、b、c。 则S△ABC=∴且，其中R为三角形外接圆半径∴∴abc=4RS△ABC=4×1×0.25=1，故三角形三边长的乘积为1。点评：由于问题条件包含了三角形的外接圆半径，所以我们联想到正弦定理：，其中R为三角形的外接圆半径，与包含正弦的三角形面积公式S△ABC=相关，并整体求解abc。 2、在△ABC中，已知角B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB。  解：在△ADC中，cosC=0＜C＜180°，∴sinC=在△ABC中，∴AB=注释：在解此题的过程中，先用余弦定理求角度，然后用正弦定理求角度。 另一方面，要求学生注重正弦、余弦定理的综合应用。 3、在△ABC中，已知cosA=，sinB=，求cosC的值。 解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π∴45°＜A＜90°∴sinA＝∵sinB＝＜=sin30°，0＜B＜π∴0°＜B＜30°或150 °＜B＜180°如果B＞150°，则B＋A＞180°与题意不一致。  ∴0°＜B＜30° cosB＝∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝且C＝180°－（A＋B）。  ∴cosC=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=-。

点评：本题要求学生根据已知的三角函数值，利用同一角度的正余弦平方关系，具体确定角度的范围，以便在正负之间进行选择。 在确定角度范围时，通常基于已知的三角函数值。 比较彼此接近的特殊角的三角函数值。  四． 课程小结 教师：通过本节的学习，我们更加熟悉了三角函数公式和三角形的相关性质，并综合运用正弦、余弦定理解决了三角形的相关问题。 要求大家注意常见解题方法和解题技巧的总结。 不断提高解决三角问题的能力。 Ⅴ. 课后作业 (一)书面作业1． 教材P132练习5. 9 5. 2. 三角形中，三边长为连续自然数，最大角为钝角。 那么三角形三边的长度就是。 答案：2、3、43． 已知方程a(1-x2)+2bx+c(1+x2)=0没有实根。 若a、b、c为△ABC的三边长，则证明△ABC是钝角三角形。  (2)1． 预览内容：教材P132~P133 解斜三角形应用实例。 2.预览大纲(1)求解斜三角形的实际应用有哪些？(2)如何将求解斜三角形的实际问题转化为纯数学问题？●黑板设计§5.9.4 正弦定理、余弦定理(4)1． 常用三角公式 2. 与三角形相关的性质 3. 学生练习 ① sin2A + cos2A = 1 ① 面积公式 S = ② sin2A = ② 角平分线定理 ③ sin (A + B) = + ③ 余角的正弦相等 ④ cos2A = 1 - ④ 余角的余弦互为相反数 ● 备课材料 1．

正弦和余弦定理的综合应用：余弦定理是求解斜三角形的主要定理。 若代入正弦定理，可得：sin2A=sin2B+sin2C-。 这是一个只包含三角形三个角的关系表达式。 使用这个一定的理解问题是简单明了的。 下面举一个例子来说明它。  【例1】在△ABC中，已知sin2B-sin2C-sin2A=，求B的次数。解：根据定理，sin2B=sin2A+sin2C-，∴-=∵≠0∴cosΒ =-∴B=150° 【例2】求°+°+sin10°cos40°的值。 解：原式=°+°+sin10°sin50° 在sin2A=sin2B+sin2C-中，设B=10°，C=50°，则A=120°。 °＝°＋°－°sin50°°＝°＋°＋sin10°sin50°＝（）2＝. 【例3】在△ABC中，已知=sinA，试求△ABC的形状。  解：原方程两边同时乘以sinA，得：=sin2A。 由定理可得sin2A+sin2C-sin2Β=sin2A，∴sin2C=sin2B∴B=C，所以△ABC是等腰三角形。

 2. 一题多重证明 【例4】已知△ABC中a=。 证明：△ABC是等腰三角形。  证明方法一：证明△ABC是等腰三角形。 可以证明其中两个角相等，因此在已知条件下去掉边缘元素，只留下包含角的三角函数。 由正弦定理可得a​​=∴=，即2cosC·sinB=sinA=sin(B+C)=+。 ∴-=0 表示sin(BC)=0，∴BC=nπ(n∈Z)。  ∵B和C是三角形的内角， ∴B=C，即三角形是等腰三角形。  证明方法二：根据投影定理，有a=bcosC+ccosB，且∵a=∴=bcosC+ccosB∴bcosC=ccosB，即∵∴，即tanB=tanC∵B， C在△ABC中，∴B=C∴△ABC是等腰三角形。  证明方法三：∵cosC=∴化简后可得b2=c2。  ∴b=c∴△ABC是等腰三角形。  ②③