（历史背景播报）《九章算术》代数

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《九章算术》

毫无疑问，()是从()演变而来的。 至于代数这门学科何时出现，很难说清楚。 例如，如果您将“代数”视为解决像 ax2+bx+c=0 这样的符号代数方程的技能。 嗯，这个“代数”是在十六世纪才发展起来的。

如果我们不要求代数符号像今天一样简洁，那么代数的出现可以追溯到更早的时代。 西方人将公元前三世纪的古希腊数学家丢番图视为代数学的鼻祖。 在中国，用文字表达的代数问题出现得更早。

“代数”作为代表数学一个分支的专有数学术语，于1859年在我国正式使用。当年，清代数学家李善兰和英国人韦列亚里共同翻译了英国人写的一本书迪莫干. 译名是《代数》。 当然，代数的内容和方法在我国古代早就产生了。 比如《算术九章》中有方程题。

自《算数九章》卷八解方程以来，我国在数值代数领域一直保持着辉煌的成就。 《九章算术》方程章首先阐述了正负算术不动摇。 正如人们从正负数的四种算术运算中学习初等代数一样，负数的出现丰富了数的内容。 古代方程包括公元前一世纪的多元方程、二次方程和不定方程。 借用几何图形证明一变量的二次方程。 不定方程的出现在2000多年前的中国就是一个值得关注的课题，比著名的希腊丢番图方程早了300多年。

x3+px2+qx=A形式的三次方程已记载于公元七世纪中国唐朝王孝通的《济古素经》中。 通过“开立方体除”就可以得到数值解（可惜原来的求解方法已经失传），不难想象得到这个解时王晓彤是多么高兴。 他说，谁能在作品中改一个字，就可以赏金千金。 11世纪的贾显就已经发明了类似于霍纳（1786-1837）方法的数值方程求解方法。 人们不能忘记13世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。 在世界数学史上，代数方程的原始记载有不同的形式，但相比之下，我们不得不推荐中国《天元数》的简洁明了。 四元术是天元术发展的必然产物。 系列是古老的东西。 两千多年前的《周笔算经》和《算术九章》都讲过算术级数和几何级数。 朱世杰在十四世纪初中国元代的一系列算计应该给予高度评价。 他的一些作品只记录在十八、十九世纪的欧洲著作中。 在11世纪，中国就已经有了完整的二项式系数表，并且也有了编制这个表的方法。

历史文献表明，著名的盈亏计算技术是从中国传播到欧洲的。 插值法的计算在中国可以追溯到六世纪的刘灼，七世纪末的益行和尚已有不等间隔的插值计算。 十四世纪之前，中国是代数许多问题研究的先进国家之一。 18、19世纪，李锐（1773-1817）、王莱（1768-1813）、李善兰（1811-1882）发表了许多这方面研究的著名著作。

研究范围报告

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初等代数方程

初等代数的中心内容是求解代数方程，因此代数长期以来被理解为代数方程的科学，数学家也将主要精力集中在代数方程的研究上。 其研究方法具有高度计算性。

讨论代数方程，首先遇到的问题之一就是如何将实际的数量关系组合成代数表达式，然后根据等价关系列出方程。 因此，初等代数的一个重要内容就是代数表达式。 由于事物中数量关系的不同，初等代数一般形成整数、分数和根式三类代数公式。 代数表达式是数的体现，因此在代数中，它们可以进行四种算术运算，遵守运算的基本定律，还可以进行两种新的运算：取幂（这里只限于有理数指数幂）和平方根。 这六种运算通常称为代数运算，以区别于算术运算，算术运算仅包括四种运算。

在初等代数的产生和发展过程中，代数方程的研究也促进了数概念的进一步发展。 将算术中讨论的整数和分数的概念扩展到有理数的范围，使得数包括正整数和负整数、正负分数和零。 这是初等代数的另一个重要内容，就是数概念的扩展。

有了有理数，初等代数可以解决的问题就大大扩展了。 然而代数式，一些单变量多项式方程在有理数范围内仍然无解。 于是，数的概念一下子扩展到了实数，然后又进一步扩展到了复数。

《九章算术》

那么在复数范围内，是否还存在无解的代数方程，我们是否必须将复数展开呢？ 数学家说：不用了，谢谢。 这是代数中著名的定理——代数基本定理。 该定理简单地指出 n 次方程有 n 个根。 瑞士数学家欧拉在1742年12月15日的一封信中明确表示。后来，另一位数学家德国高斯在1799年给出了严格的证明。

结合上面分析的内容，初等代数的基本内容是：

三种类型的数——有理数、无理数和复数；

三种公式——整数公式、分数、根式公式（统称为代数公式）；

三种方程——积分方程、分数方程和无理方程（统称为代数方程），

以及由有限个代数方程组成的代数方程组。

值得注意的是，根据方程的定义，任何包含未知数的方程都是方程。 这里之所以要强调“代数方程”，是因为除了代数方程之外，还有超越方程（即非代数初等方程，包括指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等），微分方程、差分方程、积分方程和许多其他形式的方程。 后一类显然不属于代数的范畴。 一些关于数学史的内容经常将代数定义为“以求解方程为中心的学科”，主要是因为代数方程的历史知识早在微积分等现代数学分支建立之前就已经被研究过。 由于当时还没有微积分，数学家怎么能记住建立微分方程的概念呢？

初等代数的内容与目前中学开设的代数课程的内容大致相当，但又不完全相同。 例如，严格来说，数的概念、排列、组合都应包含在算术内容中； 函数是分析数学的内容； 不等式的解有点像解方程的方法，但作为一种估计数值的方法，不等式本质上属于分析数学的范围； 坐标法研究解析几何等等，这些只是历史上形成的一种排列方法。

初等代数是算术的延续和延伸。 初等代数研究的对象是代数表达式的运算和代数方程的解。 代数运算的特点是只进行有限次数的加法、减法、乘法、除法和平方根。 所有初等代数总共有十条规则。 这是学习初等代数时需要理解和掌握的重点。

十大规则播出

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初等代数是算术的延续和延伸。 初等代数研究的对象是代数表达式的运算和代数方程的解。 代数运算的特点是只进行有限次数的加法、减法、乘法、除法和平方根。 所有初等代数总共有十条规则。 这是学习初等代数时需要理解和掌握的重点。

五个基本运算定律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；

两个方程的基本性质：方程两边同时加（减）一个数，方程不变； 等式两边同时乘（除）一个非零数，等式不变；

指数三定律：同底的幂相乘时，同底的指数相加； 当幂为幂时，同底的指数相乘； 乘积的幂等于幂的乘积。

初等代数在两个方面得到了进一步发展。 一方面研究未知数较多的线性方程组； 另一方面，它研究具有更高未知数的高阶（单变量）方程。 此时，代数已从初级代数发展到高级代数。 相应地，形成了两个主要部分：“线性代数”和“（单变量）多项式代数”。

差别报告

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初等代数研究

初等代数是指19世纪上半叶之前的代数方程理论。 主要研究某个代数方程（群）是否可解、如何求该代数方程的所有根（包括近似根）以及该代数方程的根的性质。 各种性质等。 代数可以分为两部分：初等代数和抽象代数。 初等代数是旧算术的延伸和发展，而抽象代数则是在初等代数的基础上产生和发展的。

初等代数从最简单的单变量线性方程开始，然后继续讨论二变量和三变量的线性方程组，另一方面研究二次或更高次的、可以转化为二次方程的方程组。 沿着这两个方向继续发展，代数不仅讨论具有任意数量的未知数的线性方程组（也称为线性方程组），而且还研究更高次的单变量方程组。 发展到这个阶段就称为高等代数。

高等代数是代数高级阶段的总称，它包括许多分支。 现在大学教授的高等代数一般包括两部分：线性代数和多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上进一步拓展了研究对象，引入了许多与通常的有很大不同的新概念和量，比如最基本的包括集合、向量、向量空间等。 这些量具有类似数字的运算特征，但研究方法和运算方法更加复杂和抽象。

集合是具有某些属性的事物的集合； 向量是一个不仅有数值而且有方向的量； 向量空间也称为线性空间，是由许多向量组成的、符合一定运算规则的集合。 向量空间中的操作数不再只是数字，而是向量，它们的运算性质也有很大不同。

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