三角形边长公式 （邹生书数学）诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不赐稿

公众号“邹胜树数学”创建于2018年8月28日。

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邹胜书，男，1962年12月出生，大学本科，理学学士。 黄石市中学高级数学教师、重点高中数学教师。 主要从事高中数学教学、高中数学问题解决研究和探究性学习。 2007年8月至2018年8月在《数学通讯》、《数学通报》、《数学教学》、《中学数学》、《中学数学教学》等20余种学术期刊上发表问题解决和探究式学习文章。 超过300篇文章。

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以长轴为边的椭圆内切三角形的最大角度

问题解决讨论

邹胜书 湖北省阳信县高级中学

福建省泉州市正勤庄

问题：已知AB为椭圆的长轴，△PAB为椭圆的内切三角形。 验证：当P点为椭圆短轴顶点时，∠APB最大。

这是陕西省咸阳市李宝峰老师在第二批高中数学解题交流中提出的一道数学题。 他利用角度公式和斜率公式求得证明，寻求更好的解和最美的解。 原帖如下：

证明方法一：利用和正切公式以及函数的单调性来证明

福建泉州正勤庄提供

因此，当P点为椭圆短轴顶点时，∠APB最大。

证明方法二：利用差角的正切公式和斜率公式来证明

点评：利用差角的正切公式和斜率公式解决问题绕过了角度公式。 其实它也是利用角度公式的证明方法来解决这个问题的。

证明方法三：构造外接圆，利用圆与椭圆的位置关系来证明

设C为椭圆的上顶点，设△ABC的外接圆圆心为M。由于CA=CM，点M在y轴上，设点M(0,m)。 根据相交弦定理，OC·OD=OA·OB三角形边长公式，即b·OD=a2，所以OD=a2/b。

因此，上半椭圆都在弧ACB之上，并且它们只有一个公共点C。

由同一条弧所对的圆的外角小于圆的内角，可知∠APB ≤ ∠ACB（也可以用三角形的外角大于来证明）比每个不相邻的内角）。 当且仅当点 P 与点 C 重合时，等号成立。因此，当 P 点为椭圆短轴顶点时，∠APB 最大。