探索弧长计算公式及扇形面积计算公式，提升数学运用能力

1、体验探索弧长计算公式、扇形面积计算公式的过程；

2、了解弧长计算公式、扇形面积计算公式，并能应用公式解决问题。

学习策略

1、通过探究弧长计算公式、扇形面积计算公式的过程，培养学生的探究能力。

2、学生了解弧长、扇形面积公式后，能运用公式解决问题，培养数学应用能力。

学习过程

1. 审核：

1. 圆的周长的公式是。

2.圆的面积公式是。

3. 什么是弧长？

2.新课程学习：

1. 探索弧长公式

如图所示，某传送带旋转轮的半径为10cm。

（1）传送带旋转一圈，传送带上的物品A移动多少厘米？

（2）若传送带旋转1°，传送带上的物品A将被传送多少厘米？

（3）如果轮子旋转n°，传送带上的物品A将被传送多少厘米？

2. 探索扇形面积的公式

（1）观察思考：扇形是什么形状？

（2）扇区面积的大小与哪些因素有关？

（3）讨论怎样计算扇形的面积？

①圆心角为1°的扇形的面积占圆面积的百分之几？

②圆心角为n°的扇形的面积占圆面积的百分之多少？

3.将扇形面积与弧长公式进行比较。你能用弧长来表达扇形面积吗？

4.实例分析

例1：制作弯管时，下料前需根据中心线计算“拉直长度”，试计算下图中管子的拉直长度，即圆弧AB的长度（结果精确到0.1mm）。

（1）要求管道矫直长度首先要解决什么问题？

（2）为求管道的直管长度，我们应该求哪条弧长？

（3）能利用已知条件和弧长公式解题吗？

例2 扇形AOB的半径为12厘米，∠AOB=120°，计算圆弧AB的长度（结果精确到0.1厘米）和扇形AOB的面积（结果精确到0.1平方厘米）

（1）问题中给出的已知条件是什么？

（2）这些条件能直接应用到公式中吗？

（3）能利用已知条件和扇形面积公式解题吗？

3.尝试应用：

1.（云南中考）已知扇形的圆心角为45°，半径为12，求扇形的弧长？

A.eq \f(3π,4)B. 2πC. 3πD. 12π

2.（河北中考）如图所示，把长度为8厘米的导线首尾相连，组成一个半径为2厘米的扇形，则S扇形=。

3、某高速公路有一圆弧弯道，圆弧半径为2公里，弯道圆心角为10°，一辆车通过该弯道需要20秒，弯道上有限速警示牌，限速40公里/小时，该车通过弯道时超速吗？（π为3）

4.自我总结：

（1）n°圆心角对应弧长的公式为l=。

（2）n°圆心角对应扇形的面积公式为S=。

（3）半径为R，弧长为l的扇形的面积为S=。

5. 合规性测试

一、多项选择题

1.如图，⊙O的半径为1，A、B、C为圆周上三点，∠BAC=36°，则优弧BC的长度为（ ）

A B C D

2.一块形状为等边三角形、边长为1的木板沿水平线滚动（如图所示），则B点从起点到终点所经过的路径长度为（ ）

A。 公元前 4D。 2+

3、如图所示，一把扇形纸扇完全打开时，两外侧竹条AB、AC间的夹角为120°，AB长30厘米，贴纸部分BD长20厘米，贴纸部分的面积为（ ）cm2。

A。 公元前800πD。 500π

2. 填空

4.如图所示，在扇形AOB中，OA=10，∠AOB=36°。若将此扇形绕B点顺时针旋转，则得到一个新的扇形A′O′B，其中A点位于O′B上。则O点移动路径的长度为cm。（结果保持π）

5、如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1。则圆弧BD的长度为。

6、如图所示，在Rt△ABC、∠C=90°、∠A=50°、BC=3处，以B点为圆心，BC为半径画圆弧，与AB交于D点，则长度为。

3. 回答问题

7、如图，在⊙O中，C、D为⊙O上的两点，AB为⊙O的直径，已知∠AOC=130°，AB=2。

求：（1）的长度；

（2）∠D的度数。

8、如图所示，扇形的圆心角为120°，面积为300π。

（1）求扇形的弧长；

（2）如果把这把扇子卷成圆锥体，则圆锥体的高度是多少？

9、如图所示，在半径为12的圆内，两个圆心角∠AOB=60°和∠COD=120°。连接AB与CD。求图中阴影部分的面积。

10、如图，在⊙O处，∠AOB=60°，AB=6cm。

（1）求圆的半径；

（2）求阴影部分的面积。

3.9 弧长与扇形面积测试答案

一、多项选择题

1.【解析】连接OB与OC，由同一条圆弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出劣弧BC的圆心角的度数，然后利用弧长计算公式即可解得。

【答案】解答：连接OB与OC。∠BOC = 2∠BAC = 2×36° = 72°。

则小弧BC的长度为：=π。

因此选择B。

【点评】本题考查弧长的计算公式和内接角定理，正确理解内接角定理是关键。

2、【解析】根据题干条件及图形，可判断点B以C、A为圆心，CB、AB为半径旋转120°，两条路径相等。求一，乘以2即得。

【答案】解答：如图：BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，

∴点B从首点到终点所走的路径长度为2×圆弧BB′=2×=，

因此选择B。

【点评】本题考察计算圆弧长度的方法，计算圆弧长度时，要先确定该圆弧所对应的圆的圆心角和半径，然后利用公式计算结果。

3、【解析】贴纸部分的面积等于扇形ABC的面积减去小扇形的面积，已知扇形圆心角的度数为120°，半径为30cm，根据扇形面积公式可算出贴纸部分的面积。

【答案】解答：设AB=R，AD=r，则有

S贴纸 = πR2-πr2 = π(R2-r2) = π(R+r)(Rr) = (30+10)×(30-10)π

=π(厘米2)。

因此选择A。

【点评】本题主要考查扇形面积的计算，熟悉扇形面积公式是解题的关键。

2. 填空

4.[解析] 本题主要根据弧长公式求∠OBO′的度数，利用等腰三角形的性质可得解答。

【答案】解答：根据题目可知OA=OB。

又∠AOB=36°，所以∴∠OBA=72°。

∴从O点到O′点的轨迹长度为4πcm。

所以答案是：4π。

【点评】本题考查弧长的计算及旋转的性质，答题关键是弄清楚O点的轨迹为圆弧，再根据弧长的计算公式求解。

5、【解析】连接OC。先根据勾股定理确定△ACE的形状，再利用垂直直径定理确定CE=DE，所以=。利用锐角三角函数的定义，确定∠A的度数，从而确定∠BOC的度数，确定OC的长度，再利用弧长公式得出结论。

【答案】解决方法：接上OC，

∵在△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，

∴△ACE为直角三角形，即AE⊥CD，

因为 sinA==,∴∠A=30°，

∴∠COE=60°，

∴=sin∠COE，即=，解得OC=，

∵AE⊥CD，∴=，

∴===．

所以答案是：。

【点评】本题考查垂直直径定理，涉及直角三角形性质、弧长公式等知识，难度适中。

6.[分析]半径为3，要求长度只要求∠B的度数。

【答案】解答：因为∠C=90°，∠A=50°，∴∠B=40°。

∵BC=3,∴的长度为=．

所以答案是。

【点评】本题主要考察直角三角形两锐角互余性和圆弧长公式的知识，其中圆弧长公式为l=。

3. 回答问题

7.[分析]（1）只需利用弧长公式求值即可；

（2）利用邻补角定义及圆角定理可得。

【答案】解答：（1）因∠AOC=130°，AB=2，

∴===;

（2）由于∠AOC=130°，

所以∠BOC=50°，

同样，由于∠D=∠BOC，

∴∠D=×50°=25°。

【点评】本题主要考查弧长公式和切角定理，熟悉弧长公式是解题的关键。

8.[分析]（1）利用扇形的面积公式，可求出圆锥的母线长，再利用扇形的弧长公式，可求出扇形的弧长；

（2）利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，可求出圆锥底面半径，再根据勾股定理，可求出圆锥的高。

【答案】解答：（1）设扇形的半径为R，根据题目可知，∴R2=900，

∵R＞0,∴R=30．

∴扇形的弧长=。

（2）设圆锥底面半径为r，根据题意可得2πr=20π。

∴r=10．

h==20．

答案：这个圆锥的高是20。

【点评】考查圆锥的计算，运用到的知识点为：圆锥的弧长=；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长。

9.【解析】先利用扇形OAB的面积-三角形OAB的面积计算出上方空白部分的面积，再利用扇形OCD的面积-三角形OCD的面积-上方空白部分的面积计算出阴影部分的面积。

【答案】扇区AOB==24π，

S△AOB==36,

则S弧AB=24π﹣36，

S区COD==48π，

在点 E 处画 OE⊥CD。

则OE=OD=6，CD=2DE=2×6=12，

S△COD=OE•CD=×6×12=36，

那么 S 形弓 CD = 48π-36扇形面积公司，

则 S 影子 = S 弧 CD - S 弧 AB = 48π - 36 - (24π - 36) = 24π。

【点评】这道题考的是组合图形的面积，这道题的关键是理解阴影部分面积=扇形OCD面积-三角形OCD面积-上方空白部分面积。

10.[分析]（1）先确定三角形为等边三角形，则可求出圆的半径；

（2）利用扇形面积公式和三角形面积法可计算。

【答案】解答：（1）因OA=0B，∠AOB=60°，

∴△OAB为等边三角形，

∵AB=6厘米，

∴OB=6cm，即圆的半径为6cm；

（2）过点O画OC⊥AB于点C。

∵∠OAC=60°，

∴CO=°=，

S△OAB=×2×=（cm2）

S区OAB==（cm2）

∴阴影部分的面积为：（-）cm2。

【点评】本题主要考察学生对等边三角形的判断能力及扇形面积公式等知识的应用能力，关键是判断△OAB为等边三角形。